Докажите, что:1)5^n+2^(n+1) кратно 3, если n естественное;2)7^n+3^(n+1) кратно 4, если n

Подтверждение проведём способом матиндукции

1) 5+2

1. при n = 1 имеем 5 + 4 = 9 - делится нацело на 3.

2. представим, что и при n = k выражение 5^k+2^(k+1) кратно 3

3. проверим догадку при n = k+1. 5^(k+1)+2^(k+2) = 55^k + 22^(k+1)=

= 35^k + 25^k+ 22^(k+1) = 35^k + 2(5^k+ 2^(k+1)). Так как 1-ое слагаемое, явно, кратно 3, а 2-ое - кратно 3 сообразно нашего предположения, то и вся сумма 35^k + 2(5^k+ 2^(k+1)) кратна 3. Означает 5+2 делится на з нацело при любых nN.

2) 7+3

1. при n = 1 имеем 7 + 9 = 16 - делится нацело на 4.

2. предположим, что и при n = k выражение 7^k+3^(k+1) кратно 4

3. проверим гипотезу при n = k+1. 7^(k+1)+3^(k+2) = 77^k + 33^(k+1)=

= 47^k + 37^k+ 33^(k+1) = 47^k + 3(7^k+ 3^(k+1)). Так как первое слагаемое, явно, кратно 4, а второе - кратно 4 сообразно нашего догадки, то и вся сумма, 47^k + 3(7^k+ 3^(k+1)), кратна 4. Означает 7+3 делится на 4 нацело при всех nN.