Задачка по тригонометрии - 11 класс

Так как в основании равнобедренный треугольник, то центр вписанного шара лежит в плоскости, проходящей через ребро АД перпендикулярно к основанию.

Центр шара находится на скрещении 2-ух прямых:

- прямой КТ, проходящей под углом 45 градусов к плоскости основания через точку К (это середина ВС) перпендикулярно ВС,

- прямой АМ, где точка М точка пересечения биссекториальной плоскости меж плоскостями: основания и АСД с высотой пирамиды, лежащей в плоскости, проходящей через ребро АД перпендикулярно к основанию.

Точку М обретаем так: из точки Д опускаем перпендикуляр ДЕ на ребро АС и проводим биссектрису угла ДЕК. Отрезок АК как вышина основания равен:  

АК = (502 (60/2)2) = (2500 900) = 1600 = 40.

Вышина КЕ из прямого угла одинакова: КЕ = (30*40)/50 = 24.  

Отрезок ДЕ = (72 + 242) = (49 + 576) = 625 = 25.

Величину КМ определяем из свойства биссектрисы и высоты пирамиды, равной 7.

КМ/24 = (7 КМ)/25. Отсюда КМ = 168/49.

Координаты точки скрещения прямых КТ и АМ определяем в плоскости АКД.

Уравнение КТ: z = y, уравнение АМ: z = ((-168/49)/40)y + (168/49).

Приравняв их, получаем: у = (168*49*40)/(49(49*40+168) = 3,1579 3,16.

Это и есть величина радиуса шара, вписанного в пирамиду.