Дан квадрат АВСD. На каждой его стороне отложены одинаковые отрезки АА1=

Для решения осмотрим набросок (

Так как АВСД квадрат, то АВ = ВС = СД = АД.

Докажем, что треугольники А1ВВ1, В1СС1, С1ДД1 и Д1АА1 одинаковы.

Все треугольники прямоугольные, так как катеты есть части сторон квадрата АВСД.

По условию, АА1 = ВВ1 = СС1 = ДД1.

Катет А1В треугольника А1ВВ1 равен (АВ АА1).

Катет Д1А треугольника Д1АА1 равен (АД ДД1).

С1Д = (СД СС1).

В1С = (ВС ВВ1).

Тогда треугольники А1ВВ1, В1СС1, С1ДД1 и Д1АА1 равны по двум катетам.

Так как треугольники одинаковы, то и подходящие углы треугольников одинаковы. Угол ВВ1А1 = АА1Д1. Сумма острых углов прямоугольных треугольников равна 90⁰. ВВ1А + В1А1В = 90⁰.

Тогда и В1А1В + АА1Д1 = 90⁰.

Тогда угол В1А1Д1 = 180 - В1А1В - АА1Д1 = 180 90 = 90⁰.

Подобно доказываются, что углы В1С1Д1, С1Д1А1, А1В1С1 = 90⁰.

Четырехугольник, у которого все стороны одинаковы, а углы одинаковы 90⁰ квадрат, что и требовалось доказать.