В треугольной пирамиде SABC две одинаковые боковые грани ASB и

Плоскости граней ASB и BSC перпендикулярны плоскости основания ABC и пересекаются по прямой SB . Поэтому ровная SB перпендикулярна плоскости основания ABC , т.е. SB вышина пирамиды SABC . Из равенства треугольников ASB и CSB следует, что AB = BC . Потому треугольник ABC равнобедренный. Пусть K середина AC . Тогда BK биссектриса и вышина равнобедренного треугольника ABC . Поэтому

BK = BC cos KBC = BC cos =

= 2r sin BAC cos = 2r sin (90o - ) cos =

= 2r cos cos = 2rcos2 .

Так как BK ортогональная проекция наклонной SK на плоскость основания ABC , то по аксиоме о трёх перпендикулярах SK AC . Означает, BKS линейный угол двугранного угла меж плоскостью грани ASC и плоскостью основания ABC . По условию задачи BKS = . Из прямоугольного треугольника BKS находим, что

SB = BK tg BKS = 2r cos2 tg .

Центр O сферы, описанной около пирамиды SABC , лежит на перпендикуляре к плоскости основания ABC , проходящем через центр Q окружности, описанной около треугольника ABC , а также в плоскости, перпендикулярной ребру SB , проходящей через середину M отрезка SB . Пусть R радиус этой сферы. Прямые OQ и SB перпендикулярны одной и той же плоскости ABC , значит, QD SB . В прямоугольнике OQBM знаменито, что

OQ = MB = SB = r cos2 tg , QB = r.

Как следует,

R = OB = = = r.