Найдите наивеличайшее и меньшее значение функции y= -x2+4x на отрезке [1,4]

Найдем производную функции y = - x^2 + 4x, приравняем к нулю, проверим знаки производной в интервалах, найдем максимумы либо минимумы;

y = - 2x + 4 ;

-2x + 4 = 0;

-2x = - 4;

x = - 4 : (- 2);

x = 2.

Точка 2 разделяет числовую прямую на два интервала 1) (-; 2), 2) (2; + ). На первом интервале производная функции принимает положительное значение и, соответственно возрастает, на втором промежутке производная функции отрицательна и убывает на нем. Означает точка с абсциссой х = 2 является точкой максимума функции и функция воспринимает в этой точке наибольшее значение.

max y = y(2) = - 2^2 + 4 * 2 = - 4 + 8 = 4.

Функция будет принимать малое значение в одном из концов интервала [1; 4]. Проверим, подставив значения х = 1 и х = 4 в формулу.

у(1) = - 1^2 + 4 * 1 = - 2 + 4 = 2;

y(4) = - 4^4 + 4 * 4 = - 16 + 16 = 0;

min y = y(4) = 0 (при x [1; 4]).

Ответ. max y = y(2) = 2(при x [1; 4]); min y = y(4) = 0 (при x [1; 4]).