Решите неравенство2^х + 3*2^-х 4

2^х + 3 * 2^(-х) 4.

Преобразуем выражение:

2^х + 3 * 1/2^х 4.

Введем новейшую переменную: пусть 2^х = а.

а + 3/а  4.

Перенесем 4 в левую часть и приведем все к общему знаменателю:

а + 3/а - 4 0;

(а^2 - 4а + 3)/а  0.

Разложим числитель на множители: а^2 - 4а + 3 = (а - а₁)(а - а₂).

Подберем корни квадратного уравнения с подмогою аксиомы Виета: х₁ + х₂ = 4; х₁ * х₂ = 3.

Корешки одинаковы 1 и 3.

Означает, а^2 - 4а + 3 = (а - 1)(а - 3).

Неравенство приобретает вид (а - 1)(а - 3)/а  0. Решим неравенство способом промежутков.

Корни неравенства: 0 (не заходит в просвет), 1 и 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 0, 1 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в последнего правого (+), а позже чередуя плюс и минус.

(-) 0 (+) 1 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства 0, то ответом будут интервалы, где стоит символ (-).

Решением неравенства будут промежутки (-; 0) и [1; 3].

Означает а lt; 0; a gt;= 1; a 3.

Возвращаемся к подмене 2^х = а:

1) а lt; 0; 2^х lt; 0 (не может быть).

2) a gt;= 1; 2^х gt;= 1; 2^х gt;= 2^0; х gt;= 0.

3) a 3; 2^х 3; х  log₃2.

Решение неравенства [0; log₃2].