Найти естественные значения x и y, которые удовлетворяют уравнению x2+2015=y2

1. Перепишем данное уравнение в виде у - х = 2015. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (a b) * (a + b) = a² b² (разность квадратов). Тогда, получим уравнение (у х) * (у + х) = Беря во внимание условие задания о натуральности значений x и y, заключаем, нужно отыскать такие натуральные значения х и у, чтобы: во-первых, y gt; х; во-вторых, творенье разности и суммы этих чисел одинаково 2015.
2. Акцентируя ещё раз натуральность значений x и y, отметим уместность разложения числа 2015 на простые множители. Число 2015 нечётное, то есть, не делится на 2. Оно не делится и на 3, так как сумма его цифр 2 + 0 + 1 + 5 = 8 не делится на 3. Делимость числа 2015 на 5 очевидна. Разделяем: 2015 : 5 = 403. Ясно, что 403 не делится на 5. Проверка указывает, что оно не делится и на последующие два простых числа: на 7 и на 11. Число 403 делится на 13. Разделяем: 403 : 13 = 31. Получили обычное число. Таким образом, 2015 = 5 * 13 * 31.
3. В итоге, наше уравнение приняло вид: (у х) * (у + х) = 5 * 13 * 31. Этот вид уравнения дозволяет выделить следующие 3 вероятные случаи выполнения приобретенного уравнения: а) у х = 5, у + х = 13 * 31; б) у х = 13, у + х = 5 * 31 и в) у х = 31, у + х = 5 * 13. Рассмотрим каждый случай по отдельности.
4. В случае а) система уравнений у х = 5, у + х = 403 имеет решение х = 199 и у = 204.
5. Подобно, в случае б) система уравнений у х = 13, у + х = 155 даст новое решение х = 71 и у = 84.
6. Наконец, в случае в) получим систему уравнений у х = 31, у + х = 65, которая обусловит ещё одну пару решений: х = 17, у = 48.

Ответ: х = 199 и у = 204; х = 71 и у = 84; х = 17, у = 48.