(1+x^4)dy=-x^3dx;y(0)=1

1. Дано дифференциальное уравнение (1 + x)dy = xdx и начальное условие y(0) = 1, однако нет инфы о требуемом. Решим данное дифференциальное уравнение и определим приватное решение, удовлетворяющее начальному условию.
2. Представим исходное дифференциальное уравнение в виде: dy = (x / (1 + x))dx. Интегрируя обе доли приобретенного уравнения, получим: dy = (x / (1 + x))dx либо y = (x / (1 + x))dx.
3. Выражение 4 * x подведем под символ дифференциала, то есть: 4 * xdx = d(x) = d(1 + x).
4. Введём новую переменную t = 1 + x. Тогда наш интеграл можно записать так: y = () * (1 / t)dt. Согласно таблице интегралов: (1 / х)dх = lnx + C, где С константа. Итак, y = 0,25 * lnt + C.
5. Сделаем оборотную подмену: y = 0,25 * ln(1 + x) + C это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.
6. Сейчас используя условие y(0) = 1 определим приватное решение. Имеем: 0,25 * ln(1 + 0) + C = 1 либо 0,25 * ln1 + C = 1. Так как ln1 = 0, то С = 1. Итак, искомое приватное решение имеет вид: y = 0,25 * ln(1 + x) + 1.

Ответ: y = 0,25 * ln(1 + x) + 1.