В олимпиаде по математике участвовали 30 воспитанников 6-х классов. 1-ый воспитанник

Найдем, сколько баллов набрал 3-ий ученик. Его баллы одинаковы среднему арифметическому чисел 100 и 80.

(100 + 80) : 2 = 180 : 2 = 90 (баллов) - набрал третий ученик.

Докажем, что каждый следующий воспитанник набрал ровно 90 баллов.

Осмотрим баллы 4-ого воспитанника.

(100 + 80 + 90) : 3 = 90

Сумму баллов первых 2-ух соучастников 100 + 80 мы можем записать в виде 90 + 90.

Каждый раз мы складываем столько раз 90 + 90 + ... + 90, сколько было соучастников до определяемого нами на данный момент, и разделяем на это же число.

Тогда получим, что n-ый соучастник заработал  ((n - 1)* 90) : (n - 1), т.е. 90 баллов.