1.Какие две цифры можно приписать к числу 1313 справа, чтобы полученное

1. Обозначим а и b разыскиваемые числа. Тогда получим число 1313аb, которое обязано делится на 53. Представим это число в последующем виде 1313аb = 131300 + аb. Разделим 131300 на 53. Получим 131300 : 53 = 2477 (ост. 19). Т.е (аb + 19) обязано делится на 53. (аb + 19) может быть как двузначным, так и трехзначным числом. Если (аb + 19) двухзначное число и при этом еще делится на 53, то аb + 19 = 53, аb = 53 19; аb = 34. Получили а = 3, b = 4. Если (аb + 19) трехзначное число, то аb + 19 = 53 * 2; аb + 19 = 106; аb = 106 19; аb = 87. Получили а = 8, b = 7.

Ответ: можно приписать 34 или 87.

2. Обозначим а и b задуманные двузначные числа. Тогда а^3 = b^2. Пусть х^6 = а^3 и х^6 = b^2. Получим (x^2)^3 = a^3, x^2 = a; (x^3)^2 = b^2, x^3 = b. Т.е. а и b сами являются квадратом и кубом некого числа. Подберем значение х так, чтобы условие задачи производилось.

х = 3, x^2 = 9 = а не подходит, т.к а обязано быть двузначным числом.

х = 5, x^2 = 25, x^3 = 125 = b не подходит.

х = 4, x^2 = 16 = а, x^3 = 64 = b. Проверим, подходят ли эти числа: 16^3 = 4096, 64^2 = 4096.

Ответ: 16 и 64.