некие стороны клеток на доске (8х8) покрашены в красноватый цвет,а другие

Покрасим все стороны клеток в красноватый цвет, не считая одной. Инвариант - чётность количества голубых сторон. Пусть у клетки было:

(слева - кол-во бардовых сторон, справа - кол-во голубых сторон)

4/0 --gt; 0/4

3/1 --gt; 1/3

2/2 --gt; 2/2

1/3 --gt; 3/1

0/4 --gt; 4/0

Означает, количество голубых сторон будет изменяться на 0, 2 либо 4. Надобно сделать 36 голубых сторон, но 36 - число чётное, а 1 - нечётное. Противоречие.

Ответ: Не всегда.