Помогите!!!Обследуйте функцию f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 12

Помогите!!!

Исследуйте функцию f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 12 и постройте её график. Найдите количество корней f(x) = a для каждого вправду значения параметра а.

Задать свой вопрос
1 ответ

1. Область определения функции: огромное количество всех реальных чисел.

2. Функция не повторяющаяся.

3. Проверим на четность либо нечетность функции:

 f(-x)=3(-x)^4+4(-x)^3-12(-x)^2+12=-(-3x^4+4x^3+12x^2-12)\ne-f(x)

Функция является ни четной ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями координат:

4.1. Точки скрещения с осью абсцисс(y=0).

 3x^4+4x^3-12x^2+12=0 - если сможете решить такое уравнение - вперёд! :) (на графику покажу приближенные значения)

4.2. Точки скрещения с осью ординат(x=0):

Раз х=0, то  y=12


5. Точки экстремума, возрастание и убывает функции.

 f'(x)=(3x^4+4x^3-12x^2+12)'=12x^3+12x^2-24x

Приравниваем сейчас производную функции к нулю, имеем:

 12x(x^2+x-2)=0

Произведение равно нулю, если желая бы один из множителей равен нулю.

 x_1=0

 x_2=-2\\ x_3=1


____-___(-2)___+__(0)__-____(1)___+___

Функция подрастает на промежутке  x\in (-2;0) и x\in(1;+\infty) , а убывает -  x \in (-\infty;-2) и  x \in (0;1) . Производная функции в точке х=-2 и х=1 меняет знак с (-) на (+), значит точка х=-2 и х=1 являются точками локального минимума. А в точке х=0 производная функции меняет символ с (+) на (-), как следует, точка х = 0 - локальный максимум.


6. Точки перегиба

 f''(x)=(12x^3+12x^2-24x)'=36x^2+24x-24\\ f''(x)=0; 36x^2+24x-24=0:12\\ 3x^2+2x-2=0\\ D=28\\ \\ x_1,2=\dfrac-1\pm\sqrt72


На интервале  x \in \bigg(-\infty;\dfrac-1-\sqrt72  \bigg) и  x \in \bigg(\dfrac-1+\sqrt72  ;+\infty\bigg) функция выпукла вниз, а на интервале  x \in \bigg(\dfrac-1-\sqrt72  ;\dfrac-1+\sqrt72  \bigg) - выпукла ввысь.


Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.


Теперь найдем количество корней f(x)=a для каждого вправду значения параметра а.

f(x)=a - прямая, параллельная оси абсцисс.


При  a=-20 уравнение будет иметь один корень.

При  a \in (-20;7)\cup(12;+\infty) уравнение имеет два корня.

При  a =7, a=12 уравнения имеет три корня

При  a\in(7;12) уравнение имеет четыре корня.

, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт