вычислите площадь фигуры, ограниченной чертами y=1/2x^2-x+1/2 и y=-x^2+2x+5

При применении косой черты как знака разделения надо выделять числитель и знаменатель, чтоб не было неурядицы. Как верно: 1/(2x^2) либо (1/2)x^2?

(1/2)x^2

Надо отыскать пределы интегрирования, то есть точки скрещения 2-ух парабол. Для этого приравниваем 2 уравнения.
(1/2)x^2-x+(1/2) = -x^2+2x+5
Получаем квадратное уравнение:
(3/2)х - 3х - (9/2) = 0.
Квадратное уравнение, решаем условно x: 
Отыскиваем дискриминант:D=(-3)^2-4*1.5*(-4.5)=9-4*1.5*(-4.5)=9-6*(-4.5)=9-(-6*4.5)=9-(-27)=9+27=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x=(36-(-3))/(2*1.5)=(6-(-3))/(2*1.5)=(6+3)/(2*1.5)=9/(2*1.5)=9/3=3;
x=(-36-(-3))/(2*1.5)=(-6-(-3))/(2*1.5)=(-6+3)/(2*1.5)=-3/(2*1.5)=-3/3=-1.
Парабола с отрицательным коэффициентом перед х будет выше 2-ой, поэтому при интегрировании надо второго уравнения отнять 1-ое.
(-x^2+2x+5-((1/2)x^2-x+(1/2))dx = 
Подставив пределы от -1 до 3, получаем S = 16.