Знаменито, что уравнениеx^2+px+q=112имеет два разных целых корня, причём p и q

Если p и q - нечетные, то при любом целом х левая часть всегда нечетная и не может приравниваться 112. Значит p=2 либо q=2. При p=2: х+2х+q=112, т.е.
q=113-(x+1). Наибольшее q достигается при наименьшем (x+1). При х=-1 получаем q=113 - обычное, но оно не подходит т.к. в этом случае имеется только один корень x=-1. При х=0, q=112 - не обычное.  При х=1, q=113-4=109 - обычное и дает два корня х=1 и х=-3. После этого q=2 теснее нет смысла разглядывать, потому, ответ: q=109.