Решите задание с параметромP.S. ответ: (2;3]

1. Область определения логарифма:
x^2 + 1 gt; 0 - выполнено при любых х.
ax^2 + 4x + a gt; 0

Если а = 0, то x gt; 0

Если a =/= 0, то посчитаем дискриминант и корешки
D = 16 - 4a*a = 4(4 - a^2)
x1 = (-4 - 2(4 - a^2))/(2a) = (-2 - (4 - a^2))/a;
x2 = (-4 + 2(4 - a^2))/(2a) = (-2 + (4 - a^2))/a

Если a lt; 0 и D lt; 0, то есть a lt; -2, то решений нет, поэтому что ветки параболы ориентированы вниз и вся парабола лежит ниже оси Ох.
Если a lt; 0 и D gt;= 0, то есть a [-2; 0), то x [x1; x2]
Если a gt; 0 и D gt;= 0, то есть a (0; 2], то x (-oo; x1) U (x2; +oo)
Если a gt; 0 и D lt; 0, то есть a gt; 2, то x (-oo; +oo), поэтому что ветки параболы ориентированы вверх и вся парабола лежит выше оси Ох.
Нам нужен конкретно этот случай, когда неравенство правильно при любом
х, потому разглядываем только промежуток: a gt; 2.

2. Сейчас решаем само неравенство.



Логарифм по основанию 5 - функция подрастающая (5 gt; 1), потому при переходе к числам под логарифмами знак остается.
5x^2 + 5 gt;= ax^2 + 4x + a
(a - 5)*x^2 + 4x + (a - 5) lt;= 0

У нас есть ограничение: a gt; 2.
Если а = 5, то x lt;= 0
Если a =/= 5, то найдем дискриминант и корешки
D = 16 - 4(a-5)^2 = 4(4 - (a-5)^2)
x1 = (-4 - 2(4 - (a-5)^2))/(2(a-5)) = (-2 - (4 - (a-5)^2))/(a-5)
x2 = (-4 + 2(4 - (a-5)^2))/(2(a-5)) = (-2 + (4 - (a-5)^2))/(a-5)
Если a (2, 5), то a-5 lt; 0, ветки параболы ориентированы вниз,
и если D lt; 0, то есть a-5 lt; -2; тогда a lt; 3, то x - хоть какое, поэтому что вся парабола находится ниже оси Ох.
x [2; 3)
Если a (2, 5) и D gt;= 0, то x (-oo; x1) U (x2; +oo)
Если a gt; 5, то a-5 gt; 0, ветки параболы ориентированы ввысь
и если D lt; 0, то решений нет, поэтому что вся парабола находится выше оси Ох.
Если a gt; 5 и D gt;= 0, то x [x1; x2]
Ответ: x [2; 3)