найдите естественные числа k ,m ,n удовлетворяющие соотношению 719k!=m!-n! (0!=1, k!=k

k=n=7, m=10

а как это решить?

В правой доли вынести n! за скобку. и пользоваться тем, что 719 - обычное число.

а далее?

719k!=n!((n+1)...m-1).
Если ngt;k, то сократим на k!, получим 719=((k+1)...n)((n+1)...m-1). Но, т.к. 719 - простое, то такового быть не может.
Если nlt;k, то сократим на n!, получим 719(n+1)...k=(n+1)...m-1, откуда выходит, что 1 делится на n+1, что быть не может. Значит остается n=k, т.е. 719=(n+1)...m-1. Отсюда 720=8910=(n+1)...m. Означает n+1=8, m=10. Итак, k=n=7, m=10.