sin(a-B)/sin(a+B) и cos(a-B)/cos(a+B) выразите через a)tga и tgB б)ctga и ctgB

1.Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b;

2.cos (a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b;

3. sin(a-b)=sin a*sin b- sin b*cos a

4. sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a

Докажем ф-лу (1): 1) проведем радиуо ОА, равный R, вокруг точки О на угол a и b (рис50). Получим радиус ОВ и радиус ОС. 2)Пусть В (х1;у1) С (х2;у2). 3) Введем векторы ОВ (х1;у1) , ОС (х2;у2)

4)По опр-ию скалярного произведения ОВ*ОС=х1*х2+у1*у2 (*) 5) по опр-ию синуса и косинуса х1=R*cos a, y1=R*sin a, x2=R* cos b, y2=R*sin b 6) сменяя в равенстве (*) х1,х2,у1,у2, получим ОВ*ОС=R^2*cos a*cos b+R^2*sin a*sin b (**). 7) По аксиоме о скалярном творении векторов ОВ*ОС=OB*OC*cos BOC=R^2 cosBOC,

BOC= a-b(см. рис. 50) или BOC= 2 пи-(a-b) (см. рис. 51) cos(2 пи-(a-b))=cos(a-b) следовательно ОВ*ОС=R^2*cos (a-b) (***) 8) Из неравенств (**) и (***) получим: R^2*cos(a-b)=R^2* cos a*cos b+R^2*sin a*sin b. Разделив левую и правую доли на R^20 получим формулу (1) косинуса разности Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b;
С поддержкою этой формулы легко вывести формулу (2) косинуса суммы и (4) синуса суммы:

Cos (a+b)=cos(a-(-b))=cos a*cos(-b)+sin a*sin (-b)= cos a*cos b-sin a*sin b значит cos(a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b. Докажем формулу (4): sin (a+b)=cos(пи/2-(a+b))=cos((пи/2-a)-b)=cos(пи/2-a)cos b+sin(пи/2-a)sin b=sin a*cos b+cos a*sin b Означает sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a

Докажем формулу (3) Применяя заключительную формулу имеем sin(a-b)=sin(a+(-b))=sin a*cos (-b)+sin(-b)*cos a=sin a*cos b-sin b*cos a. Значит sin(a-b)=sin a*cos b-sin b*cos a. При док-ве формул (1)-(4) были использованы последующие факты: 1) формулы приведения 2)ф-ция y=sin x-нечетная, ф-ция y=cos x-четная. Из формул сложения пологая b=пи n/2, где n N, можно вывести формулы привидения для преображений выражений вида cos(пи*n/2 a), sin(пи*n/2 a). К примеру cos(пи*n/2 -a)= cos пи/2*cos a+sin пи/2*sin a=0+sin a=sin a. Подобно выводятся последующие формулы:

Sin (пи-а) =sin a

Sin (пи+а) =-sin a

Sin (3 пи/2-а) =-cos a и т. п. Из формул сложения следуют формулы двойного довода:

Sin 2a=2sin a*cos a

Cos 2a=cos^2 a-sin^2 a