x^4+4x^3-2x^2-12x+9=0

x^4+4x^3-2x^2-12x+9=0
Уравнение с целыми коэффициентами, приведённое.
Если это уравнение имеет рациональные корешки, то они все целые и являются делителем числа 9.
Делители числа 9: 1;-1;3;-3;9;-9.
Осмотрим сумму коэффициентов:
1 + 4 - 2 - 12 + 9 = 0 =gt; х = 1 - корень уравнения.
Разделим данный многочлен на бином х - 1.
x^4+4x^3-2x^2-12x+9x-1                      
-x^4+x^3                   x^3 + 5x^2 + 3x - 1
      5x^3 - 2x^2
     -5x^3 + 5x^2
               3x^2  - 12x
               -3x^2 + 3x
                         -9x + 9
                          -9x - 9
                                0
Получаем:
(x - 1)(x^3 + 5x^2 + 3x - 1) = 0
Рассмотрим 2-ое уравнение:
x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0
Уравнение с целыми коэффициентами, приведённое.
Если это уравнение имеет разумные корешки, то они все целые и являются делителем числа -1.
Делители числа -1 : 1; -1
Осмотри сумму коэффициентов:
1 + 5  + 3 - 1 = 8 =gt; x = -1 - не является корнем уравнения.
Осмотрим сумму коэффициентов при четных ступенях: 5 - 1 = 4
Осмотрим сумму коэффициентов при нечётных ступенях: 1 + 3 = 4
Значит х = 1 - корень уравнения
Ответ: корнем начального уравнения является число х = 1.