при каких значениях k число 0 находится между корнями уравнения x^2+3x+(k-4)(1-k)=0

Корни обязаны существовать и иметь различные знаки. То есть дискриминант должен быть положительным, а свободный член - отрицательным (по теореме Виета).
Свободный член:
(k-4)(1-k)lt;0
Решением служат две области: klt;1,  kgt;4.
Сейчас дискриминант:
D= 9-4(k-4)(1-k) = 9-4k+16+4k-16k=4k-20k+25= (2k-5)gt;0
Это выполняется всегда, кроме точки k = 2,5, когда дискриминант равен 0
Но указанная точка не входит в ранее найденные области. Значит ответ:
klt;1, kgt;4