Решение иррациональных неравенств

1. Достаточо нередко при решении иррациональных неравенств после преображений получаютлучают неравенство вида  gt;  В этом случае обе доли неравенства положительны и их можно строить в квадрат. Строительство обеих частей в квадрат в общем случае дозволяет получить неравенство, которое является следствием данного. Чтобы отсеять посторонниие решения находят ОДЗ начального (данного) неравенства и обретают пересечение этих множеств.Пример 1. Решить иррациональное неравенство. gt; Решение.1) Найдем ОДЗ.x + 5 0 и 20 - x 0;-5 x 20, как следует, ОДЗ - [-5; 20] (1)2) Возведем обе доли неравенства в квадрат. x + 5 gt; 20 - x;2x gt; 15; x gt; 7,5, как следует решение этого неравенства - (7,5; +) (2).3) Найдем пресечение множеств (1) и (2), это будет огромное количество (7,5; 20].Ответ: (7,5; 20]Можно поступить иначе, сходу поменять исходное неравенство системой неравенств и решать полученную систему неравенств.
 Заметим, что f(x) gt; g(x) и g(x)0, означает в силу транзитивного сойства неравенств, везде, где производятся обозначенные неравенства, f(x)0 и потому систему можно поменять иной системой  такая замен значительно упрощает решение иррационального уравнения.Пример 2. Решить неравенство  gt; 4 - x2 gt; x + 5;
x + 50;
x2 + x + 1 lt; 0;
x-5;Квадратный трехчлен x2 + x + 1 имеет положительный старший коэффициент и отрицательный дискриминант, как следует, он принимает только положительные значение, а это означает, что неравенство x2 + x + 1 lt; 0; решений не имеет. Решение системы есть пустое огромное количество.Ответ: xПример 3. Решить неравенство Решение.Составим систему неравенств.x3 + x2 + x + 2 0,
x2 + x + 100,
x3 + x2 + x + 2 gt; x2 + x + 10;Так как 1-ое неравенство является следстствие второго и третьего неравенств, его можно опустиь.x2 + x + 100,
x3 + x2 + x + 2 gt; x2 + x + 10;
x2 + x + 100,
x3  gt; 8;
У квадратного трехчлена a = 1 и D = -39, следовательно, он принимает положительные значени на всей области определения.(-; +),
(2; +);
Ответ: (2; +).2. Сейчас осмотрим уравнения вида  gt; g(x). Так как левая часть неравенства может принимать как положительные так и отрицательные значения, то строить без определенных условий обе части в квадрат нельзя. Мы обязаны осмотреть два варианта: g(x) lt; 0 и g(x) gt; 0, то есть неравенство равносильно совокупы 2-ух систем неравенств.Так как g(x) gt; 0, то (g(x))2 gt; 0 и, в силу транзитивного характеристики неравенств, во 2-ой системе 1-ое неравенство можно опустить.Пример 4. Решить неравенство  gt; x + 1.1. Решим первую систему.x + 3 0,
x + 1 lt; 0;

x -3,
x lt; -1;

Решением этой системы является х[-3; -1).l. Решим вторую систему.x + 3 0,
x + 1  0;
x + 3 gt; (x + 1)2:

x  -1;
x + 3 gt; x2 + 2x +1;

x  -1;
x2 + x - 2 lt; 0;

У квадратного трехчлена x2 + x - 2  a = 1, D = 1 + 8 = 16 gt; 0, x1 = -2, x2 = 1.x  -1;
-2 lt; x lt; 1;

Решение 2-ой системы x[-1; 1). Объеденив два приобретенных огромного количества, получим огромное количество являющееся решением иррационального уравнения х [-3; 1).Ответ: [-3; 1)..3. Неравенства вида  lt; g(x). Из определения квадратного корня следует, что 0, потому g(x) gt; 0. Тогда Неравенство g(x) gt; 0 в этой системе  опустить в общем случае нельзя.
Пример 5. Решить неравенство 2x - 2.x2 - 5x + 4 0,
2x - 20;
x2 - 5x + 4  (3x - 3)2;

x 1 x 4,
x 1;
(x - 1)(x - 4) 4(x - 1) 2;

x 1 или x 3,
x 1;
(x - 1)((x - 3) - 4(x - 1))0;

x 1 либо x 3,
x 1;
(x - 1)(- 3x + 1)0;

x 1 либо x 3, (1)
x 1,                   (2)
x 1 либо x. (3)
Ответ: 1[4; +)4. Неравенство вида  + gt; m(x). Чтоб избавиться от иррациональности в таких неравенствах приходится несколько раз строить в квадрат обе доли неравенства, при этом мы обязаны учитывать, что возводить в квадрат обе доли неравенства можно в тех случаях, когда обе доли или положительны или отрицательны (в заключительном случае нужно поменять символ неравенства). Необходимо также учитывать, что при строительстве в квадрат может произойти расширение ОДЗ, что приведет к возникновению сторонних решений, их нужно отсеять. Пример 6. Решить неравенство   - Решение.Найдем ОДЗ. Для этого нам нужно решить систему неравенств.x0,
10 - x0;
x - 50;

x0,
x10;  5  x10.
x 5;

Таким образом ОДЗ данного неравенства есть огромное количество чисел принадлежащих интервалу [5; 10]Перенесем второе слагаемое в левую часть неравенства  + , тогда при любом значении переменной из ОДЗ обе части положительны. Возведем их в квадрат.x + x - 5 + 2  10 - x;2 15 - 3x;В данном определенном случае можно, по моему сужденью, отклонится от стандартной схемы и вот почему. В правой доли неравенства задана линейная функция t(x) = 15 - 3x, данная на интервале [5; 10]. Её угловой коэффициент k = -3, как следует, она убывает и так как на концах интервала она воспринимает соответственно значения t(5) = 0, t(10) = -15, то на указанном промежутке t(x)0. На этом же интервале 0 и 0 (из определения квадратного корня), как следует, на обозначенном промежутке неравенство 2  15 - 3x   верно при любом значении переменной из ОДЗ.