На дощечке выписаны в ряд все естественные числа от 1 до

Сумма всех чисел от 1 до 2018
S = 2018*(1+2018)/2 = 2037171
Стираем числа M и N, так, что Mlt;N
Сумма чисел между M и N
S = (N-M-1)*(M+1+N-1)/2 = (N-M-1)*(M+N)/2
И по условию эта сумма в два раза меньше оставшегося
S = 1/2 (S-S-M-N)
2S = S-S-M-N
3S = S-M-N
3S = 2037171-M-N
3(N-M-1)*(M+N)/2 = 2037171-M-N
3(N-M-1)*(M+N) = 4074342-2M-2N
3(N-M-1)*(M+N) + 2(M+N)= 4074342
(3N-3M-3+2)*(M+N) = 4074342
(3N-3M-1)*(M+N) = 4074342
4074342 разложим на множители
4074342 = 236731009
всего 16 вариантов, т.к. каждый простой делитель числа 4074342 обязан заходить либо в 1-ый, или во 2-ой множитель. перечислим все 16 возможных произведений
1, 2, 3, 6, 673, 1009, 1346, 2018, 2019, 3027, 4038, 6054, 679057, 1358114, 2037171, 4074342
1)
3N-3M-1 = 1
M+N = 4074342
---
M-N = -2/3 //всё, далее можно не считать, разность целых чисел не может быть дробью
2)
3N-3M-1 = 2
M+N = 2037171
---
N-M=1
M+N = 2037171
--- сложим
2N = 2037172 // слишком много, N2018
3)
3N-3M-1 = 3
N-M = 4/3 \\всё, последующий
4)
3N-3M-1 = 6
N-M = 7/3 \\далее!
5)
3N-3M-1 = 673
N-M = 674/3 \\опять на 3 не делится, проехали
6)2018, 2019
3N-3M-1 = 1009
N-M = 1010/3 \\на 3 не делится
7)
3N-3M-1 = 1346
N-M = 1347/3 = 449
M+N = 3027
--- сложим
2N = 449+3027
N = 1738
M = 3027-1738 = 1289 \\есть 1-ая пара!
8)
3N-3M-1 = 2018
N-M = 2019/3 = 673
M+N = 2019
--- складываем
2N = 2019+673
N = 1346
M = 2019-1346 = 673 //2-ая пара
9)
3N-3M-1 = 2019
N-M = 2020/3 //не делится
10)
3N-3M-1 = 3027
N-M = 3028/3 //не делится
11)
3N-3M-1 = 4038
N-M = 4039/3 //не делится
12)
3N-3M-1 = 6054
N-M = 6055/3 //не делится
13)
3N-3M-1 = 679057
N-M = 679058/3 //не делится
14)
3N-3M-1 = 1358114
N-M = 1358115/3 = 452705
M+N = 3
--- складываем
2N = 3+452705
N = 226354 //всё, N обязано быть меньше либо одинаково 2018
15)
3N-3M-1 = 2037171
N-M = 2037172/3 //не делится
16)
3N-3M-1 = 4074342
N-M = 4074343/3 //не делится
------------------------------------------------
Итого - две пары
M=1289 N=1738
M=673 N=1346