объясните что такое предел функции

Предел функции (предельное значение функции) в данной точке, предельнойдля области определения функции,  такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её довода к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке разумели предел последовательности частей области значений функции, составленной из образов точек последовательности частей области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если таковой предел существует, то говорят, что функция сходится к обозначенному значению; если такового предела не существует, то разговаривают, что функция расходится.

Более нередко определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой округи данной точки есть точки области определения; это дозволяет разговаривать о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не должна принадлежать самой области определения: к примеру, можно осматривать предел функции на концах открытого промежутка, на котором определена функция (сами концы промежутка в область определения не входят).

В общем случае нужно точно указывать метод сходимости функции, для чего вводят т. н. базу подмножествобласти определения функции, и тогда определяют определение предела функции по (данной) базе. В этом смысле система проколотых окружностей данной точки  приватный случай таковой базы множеств.

Так как на расширенной вещественной прямой можно построить базу окружностей нескончаемо удалённой точки, то оказывается возможным описание предела функции при стремлении довода к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама устремляется к бесконечности (в данной точке). Предел последовательности (как предел функции естественного довода), как раз предоставляет пример сходимости по базе стремление довода к бесконечности.

Неименье предела функции (в данной точке) означает, что для хоть какого заблаговременно заданного значения области значений существует окрестность этого значения такая, что в хоть какой сколь угодно малой округи точки, в которой функция воспринимает данное значение, есть точки, значение функции в которых окажется за пределами обозначенной округи.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказываетсянепрерывной (в данной точке).

Предел функции ( предельное значение функции) в данной точке, предельной для области определения функции - такая величина , к которой стремится значение осматриваемой функции при стремлении её довода к данной точке