Обосновать, что[tex]lim_x to +inftyfraclog_axx^E[/tex]=0[tex]a textgreater

Question

Обосновать, что
$\lim_x \to +\infty\fraclog_axx^E$ =0
$a\ \textgreater \ 1,E\ \textgreater \ 0$

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Катюша Крейндис · Answer 1 · 2019-08-23 05:29:10+3:00

Для начала осмотрим предел: $\displaystyle \sf \lim_n \to \infty \fracn^ka^n$ , когда agt;1

Пусть есть $\sf m\in \mathbbZ$ и $\sf m\geqslant k$ . Тогда

$\sf \displaystyle 0lt;\fracn^ka^nlt;\fracn^ma^n=\left(\fracn\sqrt[\sf m]\sf a^n\right)^n=\left(\fracnb^n\right)^m$

Где b подмена на $\sf \sqrt[\sf m]\sf agt;1$ . Но, представив b = 1 + b-1 и разложив по формуле Бинома:

$\sf 0lt;\dfracnb^n=\dfracn(1+b-1)^n=\dfracn1+n(b-1)+\fracn(n-1)2(b-1)^2+...+(b-k)^klt;\\ \\ \\ lt;\dfrac2nn(n-1)(b-1)^2\to 0,n\to \infty$

Значит, по аксиоме о предельном переходе в произведении, получим что предел $\sf \displaystyle \lim_n \to \infty\left(\fracnb^n\right)^m=0$ . Тогда

$\sf \dfrac1b^nlt;\dfracnb^nlt;1$ при большом n. Введём подмену $\tt b=a^\varepsilon$ , где agt;1 и $\varepsilon$ - положительное и случайное. Тогда

$\sf \dfrac1a^\varepsilon nlt;\dfracna^\varepsilon nlt;1\Rightarrow 1lt;nlt;a^\varepsilon n$

Прологарифмировав, получим:

$\sf \displaystyle 0lt;\log_anlt;\varepsilon n\Rightarrow \boxed\sf 0lt;\frac\log_annlt;\varepsilon$ при большом n. Как следует,

$\sf \displaystyle \lim_n \to \infty\frac\log_ann=0, agt;1$

**********************************************************************************

Теперь осталось доказать, что $\sf \displaystyle \lim_x \to \infty\frac\log_axx^\varepsilon=0$ , когда agt;1 и $\varepsilon gt;0$

Пусть $\sf \displaystyle x^\varepsilon=t$ , тогда $\sf \displaystyle \lim_t \to \infty\frac\log_at\varepsilon t$

Ранее мы проявили, что $\displaystyle \sf \lim_n \to \infty\frac\log_ann=0$ , означает $\sf \displaystyle \lim_n \to \infty\frac\log_a(n+1)n=0$

Пусть $\sf \varepsilon'$ - положительное и произвольное. Тогда

$\displaystyle \sf\exists N\in\mathbbN,ngt;N0lt;\frac\log_a(n+1)nlt;\varepsilon'$

И возьмем $\sf n=[t]$ для $\sf tgt;N+1$ . Тогда

$\sf \displaystyle 0lt;\frac\log_attlt;\frac\log_a(t+1)nlt;\varepsilon'\Rightarrow \lim_t \to \infty\frac\log_att=0$

а значит и $\displaystyle \sf \lim_x \to \infty\frac\log_axx^\varepsilon=0$