Чему одинаково значение выражения:a^4+4a+4/a +1/a^4, если а+1/а=8

Найти F = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a + 1/a), если a + 1/a = 8.

Наша цель - выразить a^4 + (1/a)^4 через (a + 1/a).

(a + 1/a)^4 = a^4 + 4a*(1/a)^3 + 6a^2*(1/a)^2 + 4a^3*1/a + (1/a)^4 =

= a^4 + (1/a)^4 + 4a^2 + 4*(1/a)^2 + 6 = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a^2 + (1/a)^2) + 6

Но с иной стороны

(a + 1/a)^4 = 8^4 = 4096

Далее.

(a + 1/a)^2 = a^2 + 2a*1/a + (1/a)^2 = a^2 + (1/a)^2 + 2

Но с другой стороны

(a + 1/a)^2 = 8^2 = 64

Значит

a^2 + (1/a)^2 = (a + 1/a)^2 - 2 = 64 - 2 = 62

Отсюда

a^4 + (1/a)^4 = (a + 1/a)^4 - 4*(a^2 + (1/a)^2) - 6 = 4096 - 4*62 - 6 = 3842

F = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a + 1/a) = 3842 + 4*8 = 3842 + 32 = 3874