Замыслили естественное число и отыскали его остатки при разделеньи на 3,

Остатки при делении числа на 3, 6 и 9 одинаковы своим очень вероятным значениям 2, 5 и 8 соответственно (по другому их сумма была бы меньше 15).
Это означает, что загаданое число x можно  записать так:
x=3k+2
x=6m+5
x=9n+8
Из второго равенства следует, что x - нечетное число, а значит из третьего равенства следует, что n - тоже нечетное. Т.е. x=9(2s+1)+8=18s+17. Т.е. остаток от деления на  18 равен 17.