обоснуйте что при любом естественном n значение выражения 7^n*2^3n-3^2n кратно 47

Упростим данное выражение: 
7 2 - 3 =
= 7 (2) - (3) =
= 7 8 - 9 =
= (7 8) - 9 =
= 56 - 9

Для полученного выражения (56 - 9) применим формулу сокращённого умножения для n-ой ступени:
a - b = (a - b)((a+a b+ab+ ...+ ab+a b+ b)

Разложим (56 - 9) на множители:
    56 - 9 =
= (56-9)(56+569+569+...+569+569+9) =
= 47 (56+56*9+56*9+...+56*9+56*9+9).
Один из сомножителей делится на 47, значит и все творенье делится на 47, что и требовалось обосновать.