как вычислить логарифм

По свойствам логарифма

самый обычный 2=1

4=2 так как 2=4

ответ логарифма будет ступень, в которую нужно возвести основание логарифма чтоб получилось логарифмическое выражение

Все характеристики выходят из формулы перехода

logb=log b/log a

a^logb=b

Как вычислить логарифм?

Чтоб вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтоб получить аргумент?

К примеру, вычислите логарифм:  а) \(\log_416\)     б) \(\log_3\)\(\frac13\)     в) \(\log_\sqrt51\)     г) \(\log_\sqrt7\sqrt7\)      д) \(\log_3\sqrt3\)

а) В какую степень надобно возвести \(4\), чтоб получить \(16\)? Явно во вторую. Потому:  

\(\log_416=2\)

б) В какую степень надобно возвести \(3\), чтоб получить \(\frac13\)? В минус первую, так как конкретно отрицательная ступень перекладывает дробь (тут и дальше пользуемся качествами ступени).

\(\log_3\)\(\frac13\)\(=-1\)

в) В какую ступень надо возвести \(\sqrt5\), чтоб получить \(1\)? А какая степень делает хоть какое число единицей? Ноль, окончательно!

\(\log_\sqrt51=0\)

г) В какую степень надобно возвести \(\sqrt7\), чтоб получить \(\sqrt7\)? В первую хоть какое число в первой ступени одинаково самому себе.

\(\log_\sqrt7\sqrt7=1\)

д) В какую ступень надобно возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt3\)? Из свойств степени мы знаем, что корень это дробная ступень, и означает квадратный корень - это ступень \(\frac12\).

\(\log_3\sqrt3=\)\(\frac12\)

В сложных случаях для вычисления логарифма комфортно переводить его в показательное уравнение.

Пример: Вычислить логарифм \(\log_4\sqrt28\)

Решение:

\(\log_4\sqrt28=x\)

Нам надо отыскать значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:  

\(\log_ac=b\)       \(\Leftrightarrow\)       \(a^b=c\)

\((4\sqrt2)^x=8\)

Что связывает \(4\sqrt2\) и \(8\)? Двойка, поэтому что и то, и иное число можно представить ступенью двойки:

\(4=2^2\)         \(\sqrt2=2^\frac12\)         \(8=2^3\)

\((2^2\cdot2^\frac12)^x=2^3\)

Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^m\cdot a^n=a^m+n\) и \((a^m)^n=a^m\cdot n\)

\(2^\frac52x=2^3\)

Основания одинаковы, переходим к равенству характеристик

\(\frac5x2\)\(=3\)

Умножим обе доли уравнения на \(\frac25\)

\(x=1,2\)

Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ: \(\log_4\sqrt28=1,2\)

Зачем выдумали логарифм?

Чтоб это осознать, давайте решим уравнение: \(3^x=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Окончательно, \(x=2\).

А сейчас решите уравнение: \(3^x=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые сообразительные произнесут: икс чуть меньше двух. А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и выдумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_38\).

Желаю выделить, что \(\log_38\), как и любой логарифм - это просто число. Да, смотрится не по привычке, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714.....\)

Пример: Решите уравнение \(4^5x-4=10\)

Решение:

\(4^5x-4=10\)

\(4^5x-4\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Означает здесь не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:  

\(a^b=c\)       \(\Leftrightarrow\)       \(\log_ac=b\)

\(\log_410=5x-4\)

Зеркально перевернем уравнение, чтоб икс был слева

\(5x-4=\log_410\)

Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обыкновенному числу.  

\(5x=\log_410+4\)

Поделим уравнение на 5

\(x=\)\(\frac\log_410+45\)

Вот наш корень. Да, смотрится не по привычке, но ответ не выбирают.

Ответ: \(\frac\log_410+45\)