параболоид и его предпосылки доклад

Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

2 z  =   x2 a2   +   y2 b2  ,

где a,  bgt;0 характеристики параболоида.Это уравнение называется каноническим уравнением эллиптического параболоида, а система координат, в которой параболоид описывается каноническим уравнением, величается канонической.

Исследуем форму эллиптического параболоида с подмогою способа сечений (рис. 1).

Осмотрим сечения параболоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY :

м

п

н

п

о  

x2 a2   +   y2 b2   =  2h

z = h

При hgt;0 в сечении получаются эллипсы с полуосями a* = a 2h и b* = b 2h , т.е. при возрастании h полуоси эллипсов неограниченно возрастают. При h = 0 плоскость z = h дотрагивается параболоида в начале координат (0, 0, 0) и, в конце концов, при hlt;0 плоскость z = h непересекает параболоида (в сечении пустое огромное количество).

Аналогично исследуются сечения параболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостями XOZ и YOZ . В частности,

м

п

н

п

о  

z  =   x2 2a2

y = 0

       и          м

п

н

п

о  

z  =   y2 2b2

x = 0

т. е. в сечении координатными плоскостями y = 0 и x = 0 получаются параболыс вершинами в начале координат.

Замечание. В приватном случае a2 = b2 = p имеем уравнение параболоида вращения

x2 + y2 + z2 = 2pz ,

т.е. поверхности, которую описывает парабола при вращении вокруг оси OZ .

Гиперболический параболоид (седло).

Гиперболическим параболоидом (либо седлом) называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

2z  =   x2 a2     y2 b2  ,

где a,  bgt;0 характеристики параболоида. Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболического параболоида, а система координат, в которой параболоид описывается каноническим уравнением, величается канонической.

Исследуем форму гиперболического параболоида с подмогою метода сечений (рис. 2).

Осмотрим сечения параболоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY :

м

п

н

п

о  

x2 a2     y2 b2   =  2h

z = h

При hgt;0 в сечении получаются гиперболы с верхушками, лежащими на оси, параллельной оси OX , а при hlt;0 гиперболы с верхушками, лежащими на оси, параллельной оси OY .

Аналогично исследуются сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостями XOZ и YOZ . В частности,

м

п

н

п

о  

z   =   x2 2a2

y = 0

т.е. в сечении выходит парабола с вершиной в начале координат, ветки которой ориентированы ввысь, и

м

п

н

п

о  

z  =  y2 2b2

x = 0

т.е. в сечении выходит парабола с верхушкой в начале координат, ветки которой направлены вниз.

  *   *   *