В каждой клетке клетчатой дощечки 7 x 11 посиживает жук. В

Допустим оборотное. Пусть и после переползания жуков в соседние клеточки, все клеточки останутся заполненными жуками. Довольно рассмотреть вариант, когда в каждой паре соседних клеток все жуки просто изменяются местами. То есть в первой строке жук из первого столбца переползает во 2-ой столбец, а жук из второго столбца переползает в 1-ый столбец, жук из третьего столбца перебирается в 4-ый столбец, а жук из 4-ого в 3-ий и так далее по другим строчкам. Однако, так как число столбцов нечетно мы сможем выполнить эти операции по всем строчкам лишь до шестого столбца. В итоге у нас остается еще один столбец. Перемещаем жуков сейчас по строчкам таким же образом. Жук из первой строки седьмого столбца переползает во вторую строчку седьмого столбца, а жук из 2-ой строки в первую и так дальше. Но, так как и количество строк у нас является нечетным, то в итоге жук из последней 11-й строчки обязан будет переползти либо в десятую строчку либо в 6-ой столбец собственной строчки и его клеточка окажется пустопорожний. Приходим к противоречию, следовательно одна из клеток обязательно окажется порожний.