Помогите, пожалуйста, с пределами.

Question

Вопросы-ответы » Алгебра

Помогите, пожалуйста, с пределами.

Задать свой вопрос

Алла
Алгебра
2019-09-01 19:33:01
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

основная техно культура России 12букв

144 минус игрек минус 54 равно 37 решите плиз

999+17 982:111:6 как решить и какие деяния ?

морфологический разбор слова quot;продолжалиquot;.

черта видов ЧС по масштабуСРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА)РИЛИ НАДО ПРЯМММ ЩАЗ!!

2x+7=3x-2*(3x-1) решите плиз

Помогите 2 и 3 сынок не может

уравнение45+x*(9+4)=409

Скажите пожалуйста как делать проверяем себя!Безотлагательно!Помогите пожалуйста!!!

В стаде находятся овцы 2-ух пород: меринос и рацка. Известье о

Семён Звиедрис · Answer 1 · 2019-09-01 19:35:23+3:00

$\lim\limits_n\to +\infty \dfrac\sqrt(n^3+1)(n^2+3)-\sqrtn(n^4+2)2\sqrtn$

Для вычисления предела будем использовать равенство $\lim\limits_n\to +\infty \dfrac1n=0$ , которое обобщается на всякую естественную ступень знаменателя: $\lim\limits_n\to +\infty \dfrac1n^k=0$ .

Преобразуем выражение под знаком предела (раздельно, чтоб было покороче, но можно переписывать цепочку и со знаком предела:

$\dfrac\sqrt(n^3+1)(n^2+3)-\sqrtn(n^4+2)2\sqrtn=\\\\=\dfrac\left(\sqrt(n^3+1)(n^2+3)-\sqrtn(n^4+2)\right)\left(\sqrt(n^3+1)(n^2+3)+\sqrtn(n^4+2)\right)2\sqrtn\left(\sqrt(n^3+1)(n^2+3)+\sqrtn(n^4+2)\right)=$

$= \dfrac\left(\sqrt(n^3+1)(n^2+3)\right)^2-\left(\sqrtn(n^4+2)\right)^22\left(\sqrtn(n^3+1)(n^2+3)+\sqrtn^2(n^4+2)\right)=\\\\= \dfrac(n^3+1)(n^2+3)-n(n^4+2)2\left(\sqrtn(n^3+1)(n^2+3)+\sqrtn^2(n^4+2)\right)=\\\\= \dfracn^5+3n^3+n^2+3-n^5-2n2\left(\sqrtn^6+3n^4+n^3+3n+\sqrtn^6+2n^2\right)=\\\\= \dfrac3n^3+n^2-2n+32\left(\sqrtn^6+3n^4+n^3+3n+\sqrtn^6+2n^2\right)=$

$=\dfrac\dfrac1n^3 \left(3n^3+n^2-2n+3\right)2\cdot\dfrac1n^3\left(\sqrtn^6+3n^4+n^3+3n+\sqrtn^6+2n^2\right)=\\\\=\dfrac\dfrac3n^3n^3+\dfracn^2n^3-\dfrac2nn^3+\dfrac3n^32\left(\sqrt\dfracn^6n^6+\dfrac3n^4n^6+\dfracn^3n^6+\dfrac3nn^6+\sqrt\dfracn^6n^6+\dfrac2n^2n^6\right)=$

$=\dfrac3+\dfrac1n-\dfrac2n^2+\dfrac3n^32\left(\sqrt1+\dfrac3n^2+\dfrac1n^3+\dfrac3n^5+\sqrt1+\dfrac2n^4\right)$

Вернемся к лимиту:

$\lim\limits_n\to +\infty \dfrac\sqrt(n^3+1)(n^2+3)-\sqrtn(n^4+2)2\sqrtn=\\=\lim\limits_n\to +\infty \dfrac3+\dfrac1n-\dfrac2n^2+\dfrac3n^32\left(\sqrt1+\dfrac3n^2+\dfrac1n^3+\dfrac3n^5+\sqrt1+\dfrac2n^4\right)=\\=\dfrac3+0-0+02\left(\sqrt1+0+0+0+\sqrt1+0\right)=\dfrac32\left(\sqrt1+\sqrt1\right)=\dfrac32\left(1+1\right)=\dfrac34$

$\lim\limits_n\to +\infty\left(\dfracn^2-3n+6n^2+5n+1\right)^n/2$

Будет употребляться 2-ой замечательный предел $\lim\limits_n\to +\infty\left(1+\dfrac1n\right)^n=e$

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

$\dfracn^2-3n+6n^2+5n+1=\dfrac(n^2+5n+1)-5n-1-3n+6n^2+5n+1=1+\dfrac-8n+5n^2+5n+1$

Предел воспримет вид:

$\lim\limits_n\to +\infty\left(\dfracn^2-3n+6n^2+5n+1\right)^n/2=\lim\limits_n\to +\infty\left(1+\dfrac-8n+5n^2+5n+1\right)^n/2=\\\\=\lim\limits_n\to +\infty\left(1+\dfrac-8n+5n^2+5n+1\right)^\dfracn^2+5n+1-8n+5\cdot\dfrac-8n+5n^2+5n+1\cdot\dfracn2 =\\\\=\exp\left(\lim\limits_n\to +\infty\dfrac-8n+5n^2+5n+1\cdot\dfracn2\right)=\exp\left(\dfrac12\lim\limits_n\to +\infty\dfrac-8n^2+5nn^2+5n+1\right)=$

$=\exp\left(\dfrac12\lim\limits_n\to +\infty\dfrac-\dfrac8n^2n^2+\dfrac5nn^2\dfracn^2n^2+\dfrac5nn^2+\dfrac1n^2\right)=\exp\left(\dfrac12\lim\limits_n\to +\infty\dfrac-8+\dfrac5n1+\dfrac5n+\dfrac1n^2\right)=\\\\=\exp\left(\dfrac12\cdot\dfrac-8+01+0+0\right)=\exp\left(\dfrac12\cdot(-8)\right)=\exp\left(-4\right)=e^-4$

Аргумент функции exp есть показатель экспоненты: $\exp(x)=e^x$ .

О проекте

Помогите, пожалуйста, с пределами.

Добро пожаловать!