отыскать максимум и минимум функции [tex]f(x)= frac12 x^4 - x^2 [/tex]

Обретаем первую производную функции:
y' = 2*(x^3) - 2x
либо
y' = 2x(x^2 - 1)
Приравниваем ее к нулю:
2*(x^3)  - 2x = 0
x1 = -1
x2 = 0
x3 = 1
Вычисляем значения функции 
f(-1) = -1/2
f(0) = 0
f(1) = -1/2
Ответ:
fmin = -1/2, fmax = 0
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 6x^2-2
Вычисляем:
y''(-1) = 4gt;0 - значит точка x = -1 точка минимума функции.
y''(0) = -2lt;0 - значит точка x = 0 точка максимума функции.
y''(1) = 4gt;0 - значит точка x = 1 точка минимума функции.