Докажите, что n^2 + n + 1 при любом естественном n

Здесь можно даже проще записать. n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n+1)^2

Т.е. число лежит между двумя квадратами поочередных натуральных чисел, следовательно, само не может являться квадратом естественного числа.

Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся огромного количества вида 2m и 2m+1, где m - естественное.
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m естественное (в силу того, что творенье и сумма естественных числе всегда естественна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 естественное, будет нечётным.

b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 gt; n
Не может.

Целостная и стройная запись решения:
n^2 lt; n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n lt; (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между 2-мя квадратами последовательных естественных чисел, само оно не может быть квадратом естественного числа.