[tex] left 5^lgx = 3^lgy atop (3x)^lg3 = (5y)^lg5 right.

Для начала заметим, что в первом уравнении системы обе доли требовательно положительны, так как ступень положительного числа - всегда число положительное, что мы и видим. Означает, я могу прологарифмировать обе доли данного равенства.
Со вторым равенством поступим подобно. Почему же тут обе доли положительны? Это происходит вследствие того, что x и y всегда положительны(так как по другому быть не может из-за того, что они входят под знаком логарифма в первом равенстве). Означает, основания ступеней положительны, а потому, и ступени положительны. Поэтому имеем право прологарифмировать обе части. Создадим это. При этом будем использовать свойства логарифмов.


Напомню, что в процессе мы использовали то, что ступень выражения под логарифмом я могу спустить и сделать его множителем.

Сейчас введём подмену переменных. Пусть lg (3x) = u, lg(5y) = v. Выразим сами логарифмы lg x и lg y через эти переменные. Для этого используем верховодило логарифма творенья:
lg(3x) = lg3 + lg x, откуда lg x = lg(3x) - lg3 = u - lg3
Аналогично,
lg(5y) = lg5 + lg y, откуда lg y = lg(5y) - lg 5 = v - lg5
Теперь подставляем это в нашу систему:


Сейчас решаем эту систему. Она заметно проще предшествующей. Как решаем? Обыденным методом: маршрутом выражения одной переменной через иную. Допустим, выразим u через v из второго уравнения и подставим в 1-ое.


Далее производим подстановочку в 1-ое уравнение, которое упрощаем обыкновенными средствами:


Сходу обретаем, что и u = 0.
Дальше возвращаемся к обычным переменным:
lg(3x) = 0, откуда и
lg(5y) = 0, откуда

Таким образом, решением системы является пара