* Обосновать, что число 0.123456789101112..., в котором выписаны попорядку все естественные

Набиваются явные "решения", но не спешите с ответом - не все так просто.

То, что 0,123456789101112 - число ирациональное, просто додуматься, но очень трудно обосновать!

Для начала:

Лемма:
Хоть какое рациональное число представимо в виде бесконечной десятичной повторяющейся дроби (при этом считаем, что число, представимое в виде конечной десятичной дроби представимо в виде неисчерпаемой десятичной повторяющейся дроби, где период - (0))

Подтверждение:
Пусть есть некоторое разумное число , где k - целое число, а l - натуральное. При вычислении неисчерпаемой десятичной дроби данного числа мы делаем следующее:
1) Считаем целую часть от дробления текущего числителя на знаменатель (и выписываем в данную позицию)
2) Числитель заменяется остатком при разделении предшествующего числителя на знаменатель
3) Числитель множится на 10 и переход к деянию 1)

Так как число остатков при разделеньи на l конечно (вероятно ровно l разных остатков), то на определенном шаге на деянии 2) окажется то же число, что было ранее. Но ввиду необыкновенности действий (умножение на одно и то же число, разделеньи на одно и то же число) будет повторяться тот же набор чисел, что был меж 2-мя данными одинаковыми - возникает период.

Доказано.

Теперь докажем, что число из условия нельзя представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Представим оборотное:

Пусть 
То есть период состоит из m цифр. Но так как в данном числе попорядку выписаны все естественные числа, то с некой позиции выписаны m-значные числа  100...0, 100...01, 100..02
Начало периода могло попасть на всякую цифру первого числа (но точно пришлось на какую-то из их), как несложно убедиться, вне зависимости от того, на какую цифру пришлось начало периода, весь период состоит ровно из 1 единицы и m-1 нуля, в то время, как последующий за ним содержит 2 единицы и m-2 нуля (а обязаны быть одинаковыми). Противоречие.
Означает данное число иррациональное

(был отброшен вариант с периодом длины 1, так как по другому после некого числа p одинаковых цифр все одинаково будет идти иная цифра)