Докажите, что при любом естественном значении n значение выражения n^7-n кратно

Question

Вопросы-ответы » Алгебра

Докажите, что при любом естественном значении n значение выражения n^7-n кратно

Обоснуйте, что при любом натуральном значении n значение выражения n^7-n кратно 42

Задать свой вопрос

Толик Шоробура
Алгебра
2019-09-05 11:03:49
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

ДАЮ 25 БАЛЛОВ. Вычислите пожалуйста с доскональным решением:

какой объем этилена (н.у.) обязан вступить в реакцию с водородом чтоб

В правильной четырехугольной пирамиде длина бокового ребра одинакова 73, а диагональ

морфологический разбор слова яснее Правда светлее солнца

найти род имён существительных кашель молодежь операция листва посодействовать лечущее средство стол

простите за качество

В орфографии есть такое правило: Если после ж, ч, ш, щ

Почему после войны 1805 года князь Андрей Болконский решает уйти со

найдите область определения функции y=(lg (10x-x^2))/(x-2)

Алгебра, нужна помощь ) кто может осталось 10 минут

Гогличидзе Милена · Answer 1 · 2019-09-05 11:12:22+3:00

Представим данное выражение в виде
$n^7-n=n(n^6-1)=n((n^3)^2-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=\\ =n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1)$ . Так как посреди всех трех последовательных целых чисел по крайней мере одно делится на 2 и одно на 3, то при всех целых n число $n(n+1)(n-1)$ делится на $2\cdot3=6.$ Как следует, число $n^7-n$ делится на 6, если n - хоть какое число.

Докажем, что $n^7-n$ делится на 7, если n - естественное число. Для начала исследуем способом математической индукции
1. При $n=1$ имеем $1^7-1=0$ - кратное 7.
2. Допустим, что $n^7-n$ делится на 7 при каком-нибудь произвольном естественном $n=k$ , т.е. $k^2-k$ кратно 7.
3. Докажем, что $n^7-n$ делится на 7 и при $n=k+1.$
$(k+1)^7-(k+1)=k^7+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k+1-k-1=\\ =(k^7-k)+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k.$

1-ое слагаемое кратно 7 по дозволенью второго пункта, а 2-ое слагаемое кратно 7, так как на 7 делятся все его слагаемые, следовательно, $(k+1)^7-(k+1)$ картно 7, если n - естественное число.

О проекте

Докажите, что при любом естественном значении n значение выражения n^7-n кратно

Добро пожаловать!