дифференциальное уравнение xdy+ydx=0; y(1)=e

Имеем дифференциальное уравнение x^2 dy + y dx = 0;
Разделим переменные:
x^2 dy = -y dx; dy/y = -dx/x^2;
Сейчас можно интегрировать левую и правую доли
dy/y = -dx/x^2;
ln(y) = 1/x + C;
ln(y) = (1/x) ln(e) + C ln(e) = ln(e^(1/x)) + ln(e^C) = ln(e^(1/x + C));
Отсюда y = e^(1/x + C) либо y = e^C * e^(1/x)
e^C - случайная константа, которую можно заменить одной константой (буковкой). Пусть это будет тоже буква С, это не играет никакой роли.
Итак, общее решение y = C e^(1/x)
Известно, что y(1) = e; Используем данный факт, чтоб найти С.
y(1) = C e^(1/1)  = e; Или C*e = e, откуда C = 1.
Конечно, приватное решение имеет вид y = e^(1/x)