помогите вычислить предел

X -gt; 0, имеем неопределённость 0/0.
Создадим преображенья:
lim (sin(2x)/tg(3x)) = lim (sin(2x) / (sin(3x)/cos(3x)) =
= lim (sin(2x)/sin(3x)) * cos(3x) = lim (sin(2x)/sin(3x)) * lim(cos(3x)
Предел творения равен творенью пределов, если каждый из их существует. Предел lim(cos(3x)) существует и равен 1. Остаётся найти предел lim(sin(2x)/sin(3x)). Такие пределы (неопределённость 0/0) просто решаются с применением правила Лопиталя. Для этого обретаем по отдельности производные числителя и знаменателя:
lim(sin(2x)/sin(3x)) = lim (2*cos(2x) / (3*cos(3x)) = 2/3
Но можно и без Лопиталя, но необходимо знать чему равен синус двойного и тройного углов.
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
sin(3x) = 3 sin(x) - 4 (sin(x))^3
Разделим sin(2x) и sin(3x) на sin(x), получим
sin(2x)/sin(x) = 2 cos(x)
sin(3x)/sin(x) = 3 - 4 (sin(x))^2
Отсюда:
lim(sin(2x)/sin(3x) = 2 cos(x)/(3 - (4 sin(x))^2 = 2/3, при x -gt; 0