сколько целых чисел входят в область значений функций?[tex]y= sqrt6+2(sin^2x-3sin4x

https://znanija.com/task/24925316

удалите пожалйста

Отыщем область значений обозначенной функции.
Для этого поначалу преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства: раскроем скобки, потом два раза используем формулу снижения ступени, приведя выражение к квадратному трёхчлену условно некой функции.


Таким образом, мы смогли привести подкоренное выражение к квадратному трёхчлену условно sin4x. На всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с поддержкою формулы снижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла.

Сейчас всё сводится к нахождению меньшего и наибольшего значений приобретенного трёхчлена.  Если мы создадим подмену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен

, ветки подходящей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате. Найдём её абсциссу оси симметрии:
. Как следует, квадратичная функция правее оси симметрии однообразно убывает, то есть, при . Поэтому большему значению функции подходит меньшее значение довода. В частности, это происходит и на отрезке . Почему этот отрезок важен, так потому, что вспоминаем, что t - это у нас не переменная сама по себе, а синус, который принимает значения конкретно из обозначенного отрезка.

Итак, на отрезке [-1,1] квадратный трёхчлен условно t убывает, потому меньшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наивеличайшее - в левом(в точке -1). То есть,
, где .
То есть, .

А тогда квадратный корень из этого выражения(в силу собственной монотонности), даёт .
Сейчас считаем, какие целые числа входят в полученную область значений.
0, 1, 2, 3 - и всё. Их ровно 4.