Решите пж индукцию любые 3 номера

Так много заданий и так малюсенько баллов!

Способ математической индукции: Пусть P(n) - высказывание, зависящее от n. Если правильно P(1) (база индукции), а также из того, что утверждение P(k) правильно при всех k lt; n (предположение индукции) следует, что производится P(n) (индукционный переход), то P(n) выполняется при всех натуральных n.

Дальше практически без слов короткие решения (слова необходимы, их надо выписывать из того, что написано выше):

3. Обозначение: число из n единиц = [email protected]
База: [email protected] = 3 делится на 3.
Переход: [email protected](3^n) = 1000 * [email protected](3^(n - 1)) + 111, [email protected](3^(n - 1)) по предположению делится на 3, 111 делится на 3, тогда всё делится на 3.

4. База: 1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 делится на 9.
Переход. n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 = ((n - 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3) + 9(n^2 + n + 1). 1-ое по предположению делится на 9, второе делится на 9, тогда всё делится на 9.

5. База: 1 = 2^0, 2 = 2^1.
Переход: 2^k lt;= n lt; 2^(k + 1). n - 2^k lt; 2^(k + 1) - 2^k = 2^k - по предположению n - 2^k можно разложить на разные ступени 2, притом все они меньше 2^k, т.к. n - 2^k lt; 2^k. Тогда n = (разложение n - 2^k) + 2^k.

6. База: 8 = 3 + 5
Переход: если в разложении n - 1 есть хотя бы одна пятерка, меняем 5 на 3 + 3 = 6, получаем n. Если там одни трёшки, то их не меньше трёх, меняем 3 + 3 + 3 = 9 на 5 + 5 = 10, получаем n.
Ответ: можно.

7. База: 1 = F(1), 2 = F(3).
Переход. F(k) lt;= n lt; F(k + 1), n - F(k) lt; F(k + 1) - F(k) = F(k - 1); по предположению n - F(k) раскладывается, при этом в разложении все слагаемые меньше F(k) (и даже меньше F(k - 1)). Тогда разложение для n = (разложение для n - F(k)) + F(k).