Как посчитать это не на калькуляторе???

Никак, если только примерно.
6 = 2*3 = 1,41*1,73
Вобщем, для этого все равно калькулятор нужен.
Обычно в ответах так и пишут: 6, не считая ничего в числах.

Есть так именуемая итеррационная формула Герона. 

На образце корня из 6 это работает так. Определяем примерное значение корня . Меж 2 и 3  - скажем 2.5 
Применяем формулу 
6=1/2*(2.5+6/2.5)=2.45
Дальше используем ту же формулу
6=1/2*(2.45+6/2.45)=2.449
и т.д.  до подходящей точности. 
Вычисления очень быстро сходится.