Найдите все зачения а, при каждом из которых система: Х+ау =1

X + ay = 1
ax + y = 2a

Умножим второе уравнение на a:

ax + ay = 2a
x + ay = 1
Вычтем из первого 2-ое:
ax - x + ay - ay = 2a - 1
x(a - 1) = 2a - 1
x = (2a - 1)/(a - 1) 
Если a = -1 либо 1, то систем не будет иметь решений:
x +  y = 1
При a = 1
x + y = 2
И при a = -1
x - y = 1
-x + y = -2

x - y = 1
x - y = 2

Умножим 1-ое уравнение на a:
ax + ay = a
ax + y = 2a
Вычтем из первого второе:
ax + ay - ax - y = a - 2a
ay - y = -a
y(a - 1) = -a
y = -a/(a - 1)
Вышло аналогичное решение.

Ответ: при a  (-; -1) U (-1; 1) U (1; +) система имеет решения.