Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы, про- ведённой

1. Треугольник "достраивается" до параллелограмма. Для этого медиана АК (К - середина ВС) продолжается на свою длину за точку К и полученная точка А1 соединяется с В и С. 

2. на АА1 отмечается точка М1 так, что М1К = МК. Светло, что М1ВМС - тоже параллелограмм (я даже не стану уточнять, что М1 - точка скрещения медиан треугольника А1ВС, симметричного треугольнику АВС условно точки К).

Потому угол ВМ1С = угол ВМС.

В четырехугольнике М1ВАС сумма обратных углов ВМ1С и ВАС одинакова 180 градусов, потому вокруг него можно обрисовать окружность.

М1А и ВС - две хорды этой окружности, пересекающиеся в точке К. Потому

АК*М1К = ВК*КС; 

Если обозначить длину медианы АК как m, то М1К = m/3, и

m^2/3 = (8/2)^2; m^2 = 48; m = 4*3

Задача, окончательно, очень обычная, и "задним числом" понятно, что на это решение и рссчитывали (может быть, там можно как то обосновать подобие треугольников АВК и СМК, но мне уже не охота этим заниматься, тем более, что это абсолютно эквивалентный метод), но сам метод оказался привлекательным.