Отыскать все значения параметра b, для каждого из которых существует число

Уравнение x+(sin+3cos)x+b=0 имеет действительное решение тогда, когда D=(sin+3cos)-4b0, т.е. b(sin+3cos)/4 (***).
Т.к. (1+3)=10, то  по способу дополнительного аргумента 
sin+3cos=10sin(+)[-10;10], при неком , т.е.
max((sin+3cos)/4)=10/4=5/2, и этот максимум достигается при
=/2-.
Таким образом, для любого b5/2 полагаем = и получаем выполнение неравенства (***), т.е. наличие действительного решения у начального уравнения. Если же bgt;5/2, то неравенство (***) не выполняется ни при каком , и означает не существует таких , при которых исходное уравнение имело бы действительные решения.
Итак, ответ: b(-;5/2].