Доктор Касторкин дежурит на быстрой поддержки каждые 5 дней. Его первое

Так как дежурит каждые 5 дней, то через 11 смен пройдет 
5*11=55 дней. Так как в неделе 7 дней то,
55/7=7+6/7 , то есть пройдет 7 недель и до последующего дежурства останется 6 дней, начиная с пятницы, получается последующее дежурство у него в четверг.

Можно по календарю посмотреть...
можно вычислить: за 5 полных недель - 7 дежурств (7 * 5 = 35)
8-е дежурство опять выпадет на пятницу))
8, 9, 10 и 11 дежурства - 20 дней = 3 недели без одного дня))
в этот самый двадцать первый день и начнется 12 дежурство,
(7 * 3 = 21), ровно три недели завершатся в четверг,  
поэтому 12 дежурство начнется в четверг...