обоснуйте что для хоть какого естественного значения n выполняется равенство

При n = 1 равенство воспримет вид 2 = 2, как следует, P(1) подлинно. Представим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

1*2 + 2*5 + 3*8 +....+n(3n-1) = n^2(n+1)

Следует проверить (обосновать), что P(n + 1), то есть

1*2 + 2*5 + 3*8 +....+n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2)= (n+1)^2(n+2)
правильно. Так как (употребляется предположение индукции)

 1*2 + 2*5 + 3*8 +....+n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2) =n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2) 

получим

n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2)  = (n + 1) (n^2 + 3n + 2) = (n + 1 )(n + 1)(n + 2) =
= (n + 1)^2 (n + 2)

то есть, P(n + 1) - подлинное утверждение.

Таким образом, согласно способу математической индукции, начальное равенство правосудно для хоть какого естественного n.