При каких значениях а и в обильем решений неравенства (a-2)(x ^2 -

А есть множитель х во второй скобке в слагаемом 2(a^2-2a)*x ?

Ха-ха, а я и не увидела, что опечатка в задании. Если бы не было - задание стало бы очень простым - в таком случае решение симметрично условно нуля и ответ "ни при каких".

1) Для того, чтоб решением оказался окончательный просвет, необходимо, чтобы производилось неравенство
a - 2 gt; 0
(Если a = 2, решений у неравенства нет совсем, а если a - 2 lt; 0, то решение - соединение интервалов вида (-infinity, c) и (d, +infinity)).
Итак, первая скобка больше нуля, и на неё можно поделить.
2) Получаем неравенство x^2 - 2(a^2 - 2a) - 7 lt; 0
Заметим, что график функции y = x^2 + 2px + q - парабола - симметричен относительно прямой x = -p (это вертикальная ровная, проходящая через верхушку параболы). Тогда множество решений (если оно не пусто) должно быть симметрично условно x = -p / 2a. Таким образом, нужно востребовать, чтоб:
а) у исходного неравенства были корни
б) абсцисса (т.е. х-координата) верхушки была одинакова 3.
3) Проще всего начать со второго условия.
a^2 - 2a = 3
a^2 - 2a - 3 = 0
a1 = 3; a2 = -1
Отметим сходу, что 2-ой корень не удовлетворяет условию a - 2 gt; 0, так что единственный вероятный кандидат на ответ это a = 3.
3) Остается проверить, что при подстановке в неравенство a = 3 множество решений окажется непустым.
x^2 - 2(9 - 6)x - 7 lt; 0
x^2 - 6x - 7 lt; 0 - множество решений непусто, а конкретно -1 lt; x lt; 7 (или, переписав в приятелем виде, 3 - 4 lt; x lt; 3 + 4)

Ответ. a = 3; b = 4.