Найдите предел последовательности xn, заданной последующим образом: x1=2, xn+1=1+1/xn. Если

Докажем, что все члены последовательности лежат в границах [3/2;2].
x_1 там лежит; пусть для некого n выполнено 3/2x_n2;
тогда 1/21/x_n2/33/21+(1/x_n)5/3lt;23/2x_(n+1)2; тем самым способом математической индукции утверждение подтверждено для всех членов последовательности.

Дальше, оценим разность меж примыкающими членами последовательности: 

x_(n+1) - x_n=1+(1/x_n) - 1 - (1/x_(n-1))=x_(n-1) - x_n/(x_nx_(n-1))

x_(n-1) - x_n/(3/2)^2

Отсюда следует сходимость последовательности.

Предел A последовательности теперь ищется элементарно. Для этого необходимо перейти к лимиту в равенстве x_(n+1)=1+(1/x_n):

A=1+(1/A); A^2-A-1=0; A=(1+5)/2 (отрицательный корень откинули, так как Agt;0

[2A]=[1+5]=3

Ответ:  3