предел последовательности

Question

Вопросы-ответы » Алгебра

предел последовательности

Задать свой вопрос

Ванек Кузяшев
Алгебра
2019-09-10 21:36:59
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

сочинение по картине Юона quot;Конец зимы. Полдень

Нужно сочинение на тему quot;портрет материquot;. 35 балловНужно не с интернета

старший брат покрасил 710 забора,а младший-14. Какая часть забора осталось непокрашеной

Таня идет в лес.Там вырастает дуб.Под ним лежит желудь.Сделать схему предложения

я клиент известье по обществознанию

как устроены покровы тела у организмов и какова функция этих

В каких художественных твореньях рассказывается о семьях

1---------------------------------1/2(-300+100)---------------------------------2я

Мини сочинение на тему: quot;Как бы я обрисовал бабочку?quot; (Рассказ quot;Рождествоquot;)

физика трудная задачка 7 класс

Valerij Tremba · Answer 1 · 2019-09-10 21:42:20+3:00

Докажем более общее утверждение, откуда и получим подходящий итог.

Сначала для удобства докажем лемму:

Лемма 1:

Для всех $a\ \textgreater \ 0$ , $\displaystyle \lim _n\to \infty \sqrt[n]a =1$ .

Подтверждение:

Представим сначала что $a \geq 1$ . Обозначим $a_n= \sqrt[n]a -1$ и докажем что $\displaystyle \lim_n \to \infty a_n =0$ .

Используя неравенство Бернулли получаем,

$\displaystyle a=(1+a_n)^n \geq 1+na_n\ \textgreater \ na_n$ (для всех $n\in \mathbb N$ )

Как следует,

$\displaystyle 0 \leq a_n \ \textless \ \fracan$

Откуда из теоремы о двух милиционерах выводим,

$\displaystyle \lim_n \to \infty a_n =0$

Как следует,

$\displaystyle \lim_n \to \infty \sqrt[n]a = \lim_n \to \infty (1+a_n )=1+ \lim_n \to \infty a_n =1$

Что и требовалось.

Осталось доказать лемму для $0\ \textless \ a\ \textless \ 1$ .
Так как $\displaystyle 1/a\ \textgreater \ 1$ , мы можем пользоваться теснее тем что обосновали ранее:

$\displaystyle \lim_n \to \infty \frac1 \sqrt[n]a = \lim_n \to \infty \sqrt[n] \frac1a = 1$

Откуда получаем,

$\displaystyle \lim_n \to \infty \sqrt[n]a = \lim_n \to \infty \frac1 \frac1 \sqrt[n]a = \frac1 \lim_n \to \infty \frac1 \sqrt[n]a = \frac11=1$

Ч.Т.Д.

Утверждение:

Пусть $\displaystyle a_1,a_2,...,a_k \geq 0$ , тогда

$\displaystyle \lim_n \to \infty \sqrt[n]a_1^n+a_2^n+...+a_k^n =\max \a_1,a_2,...,a_k\$

Подтверждение:

Пусть $1 \leq r \leq k$ число исполняющее $a_r=\max\a_1,a_2,a_3,...,a_k\$ .

Для всех $n\in \mathbb N$ производится,

$a_1^n+a_2^n+...+a_k^n \geq a_r^n$

А также,

$a_1^n+a_2^n+...+a_k^n \leq k\cdot \max\a_1,a_2,...,a_k\=k\cdot a_r^n$

Следовательно,

$\displaystyle \sqrt[n]a_r^n \leq \sqrt[n]a_1^n+a_2^n+...+a_k^n \leq \sqrt[n]k\cdot a_r^n$

То есть,

$a_r \leq \sqrt[n]a_1^n+a_2^n+...+a_k^n \leq \sqrt[n]k \cdot a_r$

Из Леммы 1 следует:

$\displaystyle \lim_n \to \infty ( \sqrt[n]k\cdot a_r )=a_r\cdot \lim_n \to \infty \sqrt[n]k=a_r$

Откуда при подмоги аксиомы о двух милиционерах получаем,

$\displaystyle \lim_n \to \infty \sqrt[n]a_1^n+a_2^n+...+a_k^n=a_r=\max\a_1,a_2,...,a_k\$

Ч.Т.Д.

Сейчас с легкостью находим подходящий нам предел:

$\displaystyle \lim_n \to \infty \sqrt[n]2^n+3^n=\max\2,3\ =3$

О проекте

предел последовательности

Добро пожаловать!