30 баллов, тема: уравнение касательной к графику, просьба объяснить подробно, непонятна

F(x)=x+px+q; O(0;0)
f(0)=q=0
q=0

y=2x-16
уравнение касательной
y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0)
y=f'(x0)*x-f'(x0)*x0+f(x0)
f'(x0)=2
f(x0)-f'(x0)*x0=-16
найдём производную f(x)
f'(x)=2x+p
2x0+p=2
p=2-2x0
x0+p*x0-(2x0+p)*x0=-16
x0+p*x0-2x0-px0=-16
-x0=-16
x0=16
x0=4

p1=2-2x0=2-8=-6
p2=2-2(-4)=10
1)f(x)=x-6x

найдём координаты верхушка
х1=6/2=3
f(x1)=9-6*3=9-18=-9
меньшее значения -9
p2=10
2)f(x)=x+10x
x2=-10/2=-5
f(x2)=25-50=-25
меньшее значения функции -25

Прежде всего раз график f(х) дотрагивается прямой у=2х-16, то это значит, что у=2х-16 является касательной к f(x).

График функции f(x)=x+px+q проходит через начало координат

отсюда получаем f(0)=0
либо 0=0+р*0+q
откуда q=0
значит график функции
f(x) имеет вид f(x)=x+px

Найдем производную f(x)=x+px
f'(x)=2x+p

Наименьшее значение f(x) будет достигаться в точке Хмин
при f'(Xмин)=0
2Хмин+р=0 откуда Хмин= - р/2 ()
Нам остаётся отыскать p

Уравнение касательной к f(x) в точке Хо
у=f(Xo)+f'(Xo)(x-Xo)

f(X0)=Xo+pXo
f'(Xo)=2Xo+p

означает
у= (Xo+pXo)+
+(2Xo+p)(х-Хо)=
=(2Xo+p)х+
+(Xo+pXo-2Хо-pXo)=
=(2Xo+p)х +(-Xo)
Наша касательная по условию:
y=2х-16

откуда, приравнивая коэффициенты при x и свободные члены, получим :
2Хо+р=2 (1)
-Xo=-16 и(2)

из (2) получаем Xo=16 и (Хо)1,2=4
из (1) обретаем p=2-2Xo
p1=2-2*4=-6
f1(x)=x-6x (синий график , см фото)
p2=2+2*4=10
f2(x)=x+10x (темный график, см фото)
касательная у=2х-16 обозначена красноватым цветом

из ()
Хмин= - р/2
подставляем отысканные значения p в эту формулу:
(Xmin)1= -(-6)/2=3
(Xmin)2= -10/2=-5

Наименьшие значения функций:
f((Xmin)1)= 3-6*3=-9
f((Xmin)2)=(-5)+10(-5)=-25
(два решения)