За якого значення а система ма диний розвязок

Возводим в квадрат 2 уравнение

(x - y)^2 = a^2

x^2 + y^2 - 2xy = a^2

Подставляем 1 уравнение

4 - 2xy = a^2

2xy = 4 - a^2 = (2 + a)(2 - a)

При а = -2 и при а = 2 будет

2xy = 0

x^2 + y^2 = 4

Эта система имеет 4 решения: (0;-2); (0;2); (-2;0); (2;0).

При всех иных а будет:

y = (4-a^2) / (2x)

x^2 + (4-a^2)^2 / (4x^2) = 4

4x^4 - 16x^2 + (4-a^2)^2 = 0

Это биквадратное уравнение. Оно имеет 2 корня при D = 0.

D/4 = 8^2 - 4(4-a^2)^2 = (8-2(4-a^2))(8+2(4-a^2)) = 2a^2*(16-2a^2) = 0

При а = 0, а = -8, а = 8 будет D = 0.

Решим систему при этих а.

1) а = 0

x^2 + y^2 = 4

x - y = 0

Получаем

x = y

2x^2 = 4

Отсюда

x1 = y1 = -2; x2 = y2 = 2

Даже без проверки явно, что это вправду два решения:

x1 = -2; y1 = -2 и x2 = 2; y2 = 2

2) a = +-8

4x^4 - 16x^2 + (4-8)^2 = 0

4x^4 - 16x^2 + 16 = 0

x^4 - 4x^2 + 4 = 0

(x^2 - 2)^2 = 0

Получаем

x1 = -2; x2 = 2

Тоже получается два решения, но это надобно проверить.

2а) a = -8 = -22; x1 = -2; y1 = x - a = -2 + 22 = 2

x^2 + y^2 = (-2)^2 + (2)^2 = 2 + 2 = 4 - подходит.

2б) a = 8 = 22; x1 = -2; y1 = x - a = -2 - 22 = -32

x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-32)^2 = 2 + 9*2 = 20